Sequenzielle Spiele

Schach ist nichts anderes als ein gigantischer Spielbaum: Jede Stellung ist ein Knoten, jeder legale Zug ein Ast. Schon 1928 bewies der Mathematiker John von Neumann, einer der Gründerväter der Spieltheorie und des Computers, das sogenannte Minimax-Prinzip: In einem Spiel wie Schach findet man den besten Zug, indem man vom Ende her denkt und bei jedem Knoten annimmt, dass der Gegner seinerseits optimal antwortet. Das ist wortwörtlich die Rückwärtsinduktion dieses Moduls, nur als Rechenvorschrift formuliert.

So schlagen Computer Menschen: Als IBMs «Deep Blue» 1997 Weltmeister Garri Kasparow besiegte, durchsuchte die Maschine rund 200 Millionen Stellungen pro Sekunde. Das ist Rückwärtsinduktion mit brachialer Geschwindigkeit. Vollständig lösen lässt sich Schach trotzdem nicht: Der Baum enthält mehr mögliche Partien (rund 10¹²⁰), als das Universum Atome hat (rund 10⁸⁰). Deshalb rechnen Programme nur einige Züge tief und schätzen den Rest mit Bewertungsfunktionen; moderne Engines nutzen dafür neuronale Netze.

Wo der Baum klein genug ist, führt die Methode dagegen bis zur letzten Wahrheit: Das Damespiel wurde 2007 nach fast zwanzig Jahren Rechenzeit vollständig durchgerechnet. Das Ergebnis: Bei perfektem Spiel beider Seiten endet Dame immer remis. Ein ganzes Spiel – per Rückwärtsinduktion «ausgelöst». Für Schach steht dieser Moment noch aus.

Was passiert, wenn du das Spiel aus Kapitel 6.1 nicht als Baum, sondern wie in Modul 3 als Matrix aufschreibst? Das Start-up wählt «Eintreten» oder «Draussen bleiben». Goliath legt sich auf eine Reaktion fest: «Dulden» oder «Preiskampf». Bleibt das Start-up draussen, verdient Goliath weiterhin seine 10 Millionen, egal welche Reaktion er sich vorgenommen hat.

Mit der Methode aus Modul 3 findest du zwei Nash-Gleichgewichte. Im ersten tritt das Start-up ein, und Goliath duldet. Im zweiten bleibt das Start-up draussen, weil Goliath mit dem Preiskampf droht. Und Goliath hat keinen Grund, von dieser Drohung abzurücken: Solange das Start-up draussen bleibt, kostet sie ihn nichts.

Die Matrix kann die beiden Gleichgewichte nicht unterscheiden, der Spielbaum schon: Tritt das Start-up doch ein, ist Dulden (5) für Goliath besser als Preiskampf (−2). Das zweite Gleichgewicht beruht also auf einer leeren Drohung, auf einer Handlung, die Goliath im Ernstfall nie wählen würde.

Der deutsche Ökonom Reinhard Selten zog daraus 1965 die Konsequenz. Jeder Knoten des Spielbaums bildet zusammen mit allem, was danach folgt, ein eigenes kleines Spiel, ein Teilspiel. Ein Gleichgewicht soll in jedem dieser Teilspiele stabil sein, auch in solchen, die im Spielverlauf nie erreicht werden. Selten nannte das teilspielperfektes Gleichgewicht. Die Rückwärtsinduktion findet genau diese Gleichgewichte und sortiert leere Drohungen automatisch aus. Für diese Idee erhielt Selten 1994 zusammen mit John Nash und John Harsanyi den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften.

Die Simulation vom Anfang dieses Moduls hat sich in der Schweiz tatsächlich abgespielt. 2005 eröffnete Aldi seine ersten Schweizer Filialen (Lidl folgte wenige Jahre später) und trat damit in einen Markt ein, den Migros und Coop beherrschten. Viele erwarteten einen ruinösen Preiskampf. Wie würden wohl die Schweizer Handelsunternehmen auf die Gefahr reagieren?

Zu einem Preiskampf kam es nicht. Ein flächendeckender Preiskampf hätte die Etablierten wegen ihres riesigen eigenen Volumens am meisten gekostet: Wer 70 Prozent des Marktes hält, verliert bei einer Preissenkung selbst am meisten, weil er dann seine Produkte günstiger verkaufen muss. Die Drohung war also unglaubwürdig, und die Discounter wussten das. Stattdessen wählten Migros und Coop eine dritte Strategie, die unser einfacher Spielbaum noch nicht enthält. Sie bauten ihre Billiglinien M-Budget und Prix Garantie massiv aus, senkten die Preise gezielt auf den direkt vergleichbaren Artikeln und differenzierten sich sonst über Frische, Standorte und ein grösseres Sortiment.

Das Ergebnis: Die Discounter etablierten sich mit soliden, aber begrenzten Marktanteilen; die grosse Schlacht blieb aus. Zwei Lehren daraus: Erstens hält die Kernaussage der Rückwärtsinduktion der Realität stand. Vernichtungsdrohungen von Marktführern sind selten glaubwürdig. Zweitens ist die Wirklichkeit vielfältiger als ein Baum mit zwei Ästen. Wer in einer konkreten Entscheidungssituation steckt, erfindet oft eine dritte Option, die das Modell erweitert. Modelle strukturieren das Denken – ersetzen es aber nicht!

Eine der ältesten Erzählungen über strategisches Denken steht in der Bibel, im ersten Buch der Könige, und ist rund dreitausend Jahre alt. Zwei Frauen leben im selben Haus und bringen kurz nacheinander je einen Sohn zur Welt. In einer Nacht stirbt das eine Kind. Am Morgen stehen beide Frauen vor König Salomo, und jede behauptet dasselbe: Das lebende Kind sei ihres, das tote gehöre der anderen. Es gibt keine Zeugen und keine Beweise, Aussage steht gegen Aussage, und keine Befragung der Welt kann den Streit entscheiden.

Salomo entscheidet ihn trotzdem – mit einem einzigen Satz. Er befiehlt: «Bringt mir ein Schwert. Zerteilt das lebende Kind und gebt jeder Frau die Hälfte.» Die eine Frau ist einverstanden: Dann solle das Kind eben weder ihr noch der anderen gehören. Die andere aber schreit auf und fleht den König an, das Kind der Rivalin zu überlassen – nur töten solle er es nicht. Da spricht Salomo sein Urteil: Die Frau, die lieber auf das Kind verzichtet, als es sterben zu lassen, ist die wahre Mutter. Sie erhält ihren Sohn.

Spieltheoretisch gelesen ist das ein Meisterstück. Salomos Drohung ist offensichtlich leer: Kein König will ein Kind zerteilen, und die Ausführung hätte ihm nichts als Abscheu eingebracht. Doch darauf kommt es nicht an. Salomo setzt die Drohung nicht ein, um jemanden abzuschrecken, sondern um Reaktionen zu erzeugen, und er antizipiert, dass die echte und die falsche Mutter auf dieselbe Ankündigung verschieden reagieren werden: Der einen ist das Leben des Kindes wichtiger als der Sieg im Streit, der anderen nicht. Die Reaktionen verraten, was keine Befragung ans Licht gebracht hätte. Als Abschreckung taugt eine leere Drohung also nichts, aber als Werkzeug, um verborgenes Wissen sichtbar zu machen, kann sie Gold wert sein. Die moderne Spieltheorie nennt so etwas einen Mechanismus: Spielregeln, die so gebaut sind, dass die Züge der Spieler offenlegen, was sie wissen.

Zwei Geschwister, ein Stück Kuchen und ein alter Trick der Eltern: Das eine Kind teilt den Kuchen in zwei Stücke, das andere wählt zuerst. Die Rückwärtsinduktion zeigt, warum diese Regel so gut funktioniert. Letzter Zug: Wer wählt, nimmt das grössere Stück. Erster Zug: Wer teilt, antizipiert genau das, denn jede unfaire Teilung liesse ihm selbst das kleinere Stück. Seine beste Antwort ist darum, so exakt wie möglich zu halbieren. Die Regel macht sich den Eigennutz beider zunutze und erzwingt Fairness, ohne dass jemand fair sein wollen muss.

Freitagnachmittag, letzte Lektion. Die Lehrerin sagt: «Nächste Woche schreibt ihr an einem der fünf Tage eine Prüfung, und ich verspreche euch: Sie wird eine Überraschung sein. Ihr werdet am Morgen des Prüfungstags nicht wissen, dass sie heute stattfindet.» Auf dem Heimweg beginnt die Klasse zu überlegen, und zwar so, wie du es in diesem Modul gelernt hast: vom Ende her.

Kann die Prüfung am Freitag stattfinden? Nein. Wäre bis Donnerstagabend keine Prüfung geschrieben, bliebe nur noch der Freitag übrig. Die Klasse wüsste am Freitagmorgen genau, was kommt, und von einer Überraschung könnte keine Rede mehr sein. Der Freitag scheidet also aus. Damit fällt aber auch der Donnerstag: Da der Freitag nicht mehr in Frage kommt, wäre der Donnerstag der letzte mögliche Tag. Stünde er als einziger noch offen, sähe ihn die Klasse am Mittwochabend ebenso kommen. Dasselbe Argument frisst sich weiter nach vorn, durch den Mittwoch, den Dienstag, den Montag. Die Klasse lehnt sich zufrieden zurück: Eine überraschende Prüfung ist logisch unmöglich; die Ankündigung kann gar nicht eingelöst werden.

Am Mittwoch liegt die Prüfung auf dem Tisch, und alle sind vollkommen überrascht. Das ist das Paradox der unangekündigten Prüfung, über das Logikerinnen und Philosophen seit den 1940er-Jahren streiten, ohne dass eine Auflösung bis heute alle überzeugt hätte. Für dieses Modul ist es eine Warnung mit Augenzwinkern: Die Rückwärtsinduktion ist ein scharfes Werkzeug, aber eine lückenlos wirkende Kette von Schlüssen kann sich in die eigene Schwanzspitze beissen. Beim Tausendfüssler macht die «perfekte» Logik beide Spieler ärmer; hier beweist sie die Unmöglichkeit von etwas, das dann trotzdem passiert. Einen ausführlichen Überblick über die Debatte gibt der Eintrag «Epistemic Paradoxes» der Stanford Encyclopedia of Philosophy.