Gemischte Strategien
Es gibt Spiele, in denen jede berechenbare Entscheidung die falsche ist, weil der Gegner jede Regelmässigkeit gnadenlos ausnutzt. In diesen Situationen rät die Spieltheorie, sich zufällig zu verhalten. Die Strategie soll also zufällig gewürfelt werden, damit man nicht berechenbar ist.
- Erklären, warum manche Spiele kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien haben
- Erwartungswerte von Strategien in einfachen Spielen berechnen
- Das Prinzip «unberechenbar mischen» begründen
- Die optimale Mischung bei Schere, Stein, Papier herleiten (⅓ / ⅓ / ⅓)
5.1Experiment: Elfmeterschiessen
Stell dir vor, du bist Schütze in einem Finalspiel und entscheidest im Elfmeterschiessen über Sieg oder Niederlage deines Teams. Der Torwart des gegnerischen Teams ist für seine schnelle Reaktion bekannt. Die Regeln sind einfach: Du hast fünf Schüsse. Schiesst du in die Ecke, in die der Torwart nicht springt, ist es ein Tor. Springt er in die richtige Ecke, hält er den Ball. Entscheide nun im untenstehenden Spiel bei jedem Schuss, wohin du zielst: links oder rechts!
⚽ = dein Schuss · 🧤 = Sprung des Torwarts
Beobachtung
Wie hast du deine Ecke gewählt? Vielleicht hast du versucht, ein Muster zu vermeiden und dabei gemerkt, wie schwer das ist. Darum geht es in diesem Modul: In Spielen wie diesem ist die Wahl selbst nicht das Problem – das Muster dahinter ist es.
5.2Kein Feld ist stabil
Übersetzen wir den Elfmeter in eine Matrix. Der Schütze (blau) will die Ecke treffen, in die der Torwart (orange) nicht springt; der Torwart will genau dessen Ecke erwischen. Tor bedeutet +1 für den Schützen und −1 für den Torwart, gehaltener Ball das Umgekehrte – ein reines Nullsummenspiel:
Suche mit der Kringel-Logik aus Modul 3 nach einem stabilen Feld – du wirst keines finden. In jedem der vier Felder ist einer der beiden unzufrieden und würde wechseln: Hält der Torwart deine Linksschüsse, willst du nach rechts. Schiesst du rechts, will er nach rechts springen. Springt er rechts, willst du wieder nach links. Und so weiter, im Kreis herum – das berühmte «Ich denke, dass du denkst, dass ich denke …» ohne Ende.
Eine reine Strategie ist eine feste, im Voraus bestimmte Wahl, etwa «Ich schiesse links».
In manchen Spielen existiert kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, weil jede feste Wahl vom Gegner ausgenutzt werden kann: Wer berechenbar ist, verliert.
5.3Zufall als Strategie
Wenn jede feste Wahl ausgenutzt werden kann, bleibt nur eines: keine feste Wahl zu treffen. Statt einer reinen Strategie («Ich schiesse links») spielt man eine gemischte Strategie. Man legt nur noch die Wahrscheinlichkeiten fest («Ich schiesse mit 50% links und mit 50% rechts») und lässt im entscheidenden Moment den Zufall entscheiden. Das klingt nach Kapitulation, ist aber das Gegenteil: Ein Gegner kann ein Muster nur ausnutzen, wenn es eines gibt.
Warum genau 50/50? Rechnen wir mit dem Erwartungswert, dem durchschnittlichen Ergebnis auf lange Sicht, das du aus dem Mathematikunterricht kennst. Angenommen, du schiesst mit Wahrscheinlichkeit p links. Ein professioneller Torwart kennt deine Statistik. Schiesst du zum Beispiel in 80% der Fälle links (p = 0.8), springt er einfach immer links, und du triffst nur noch in den 20% der Fälle, in denen du rechts schiesst. Deine Trefferquote ist dann gerade einmal 20%. Allgemein gilt gegen einen Torwart, der deine Statistik kennt: Trefferquote = min(p, 1−p). Diese Grösse ist genau dann am grössten, wenn p = 50% ist. Jede Abweichung von der hälftigen Mischung senkt deine Quote.
Teste es selbst: Stelle mit dem Regler ein, wie oft du links schiesst. Der Balken zeigt deine langfristige Trefferquote gegen einen Torwart, der deine Statistik kennt und ausnutzt.
Bisher haben wir nur dich als Schützen betrachtet. Der Torwart steckt aber im selben Problem, nur spiegelverkehrt: Springt er zu oft in dieselbe Ecke, schiesst du einfach vermehrt in die andere und triffst öfter. Auch für ihn ist die hälftige Mischung darum das Beste, was er gegen einen aufmerksamen Gegner tun kann.
Jetzt setzen wir beide Überlegungen zusammen. Erinnere dich an die Definition aus Modul 3: Ein Nash-Gleichgewicht liegt vor, wenn kein Spieler sich verbessern kann, indem er allein von seiner Strategie abweicht. Neu ist nur, dass eine «Strategie» jetzt eine Mischung ist, also eine Festlegung der Wahrscheinlichkeiten. Prüfen wir damit das Paar «beide mischen 50/50». Wenn der Torwart jede Ecke gleich oft abdeckt, triffst du mit jedem Schussverhalten gleich oft, nämlich in der Hälfte der Fälle: Immer links, immer rechts oder irgendeine Mischung dazwischen – deine Quote bleibt 50%. Du kannst dich durch Abweichen also nicht verbessern. Für den Torwart gilt dasselbe, solange du 50/50 mischst. Niemand hat einen Grund, seine Mischung zu ändern; das Paar ist stabil und damit ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.
Vielleicht wunderst du dich: Wenn gegen einen 50/50-Torwart jedes Schussverhalten gleich viel bringt, warum solltest du dann ausgerechnet bei 50/50 bleiben? Weil jede Abweichung ein Muster erzeugt, und ein Muster ist angreifbar, wie du am Regler gesehen hast. Sobald der Torwart es bemerkt und sein Verhalten anpasst, fällt deine Quote unter die 50%. Nur die hälftige Mischung ist gegen jede Reaktion des Gegners gewappnet. John Nash hat übrigens mit dieser Idee bewiesen, dass jedes endliche Spiel mindestens ein Gleichgewicht besitzt: Man muss nur gemischte Strategien zulassen.
Eine gemischte Strategie legt nur die Wahrscheinlichkeiten fest, etwa «50% links, 50% rechts», und lässt im entscheidenden Moment den Zufall entscheiden.
Die richtige Mischung ist unausnutzbar: Sie bildet das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. Lässt man Mischungen zu, besitzt jedes endliche Spiel mindestens ein Gleichgewicht (Satz von Nash).
Der Regler zeigt die Theorie, jetzt erlebe sie: Im Elfmeterschiessen der zweiten Stufe führt der Torwart Buch über deine Schüsse: Er merkt sich, welche Ecke du bevorzugst und welchen Mustern deine Reihenfolge folgt, und springt bevorzugt dorthin, wo er deinen nächsten Schuss erwartet. Zehn Schüsse. Schaffst du es, nahe an die 50%-Quote zu kommen? Danach kannst du weiterspielen und beobachten, wie sich deine Quote langfristig einpendelt.
⚽ = dein Schuss · 🧤 = Sprung des Torwarts – er kennt deine bisherige Statistik!
ExkursDas Indifferenz-Prinzip – wenn die Ecken ungleich sind
Bisher war alles symmetrisch, darum kam 50/50 heraus. Aber was, wenn du eine starke und eine schwache Ecke hast? Nehmen wir an: Springt der Torwart in die falsche Ecke, triffst du immer. Springt er richtig, hält er deinen Schuss in die schwache rechte Ecke sicher, deinen harten Schuss nach links aber nur in der Hälfte der Fälle. Deine Trefferchancen: links 50% (Torwart springt links) bzw. 100% (er springt rechts); rechts 100% bzw. 0%.
Wie oft solltest du links schiessen? Die Antwort liefert das Indifferenz-Prinzip: Mische so, dass der Gegner mit keiner seiner Optionen einen Vorteil hat, sonst würde er genau diese Option immer wählen. Sei p dein Anteil Linksschüsse. Springt der Torwart links, triffst du im Schnitt p·50% + (1−p)·100%; springt er rechts, triffst du p·100% + (1−p)·0%. Gleichsetzen: 100 − 50p = 100p, also p = ⅔. Deine Trefferquote im Gleichgewicht: rund 67%.
Zwei Erkenntnisse stecken darin. Erstens: Du nutzt deine starke Seite öfter (⅔), aber eben nicht immer, sonst wärst du berechenbar. Zweitens, und das ist die eigentliche Überraschung: Die optimale Mischung berechnet sich nicht daraus, was dir am meisten bringt, sondern daraus, was den Gegner indifferent macht. Dieses Muster fanden Ökonomen in den Daten der Profiligen: Schützen bedienen die starke Ecke häufiger, und die Trefferquoten beider Ecken sind am Ende fast identisch – das Kennzeichen einer sauberen Gleichgewichtsmischung.
5.4Auflösung: Schere, Stein, Papier
Erinnerst du dich an die offene Frage aus Modul 1: «Gibt es eine beste Strategie?» Jetzt kannst du sie beantworten. Schere, Stein, Papier ist ein Nullsummenspiel mit drei Strategien und ohne stabile reine Lösung: Wer auch nur eine leichte Vorliebe zeigt, sagen wir für Stein, gegen den spielt ein aufmerksamer Gegner einfach häufiger Papier. Die einzige Mischung, die sich nicht ausnutzen lässt, ist die perfekte Gleichverteilung: je ⅓ Schere, Stein und Papier, völlig zufällig und ohne Muster.
«Ohne Muster» ist dabei schwerer, als es klingt. Menschen sind notorisch schlecht darin, zufällig zu sein: Wir vermeiden Wiederholungen («dreimal Stein hintereinander fühlt sich falsch an»), reagieren vorhersehbar auf Niederlagen und haben Lieblingszüge. Davon lebt der folgende Gegner: Dieser Bot merkt sich, wie oft du welche Strategie spielst, und setzt gezielt den Konter auf deinen häufigsten Zug. Schaffst du es, ihn auf Dauer bei einer Siegquote von rund einem Drittel zu halten?
Tipp: Spiele mindestens 15 Runden. Ab Runde 10 zeigt dir der Bot laufend, was er über dich gelernt hat.
FallstudieDie 20-Millionen-Runde Schere, Stein, Papier
Dass diese Überlegungen keine Spielerei sind, bewies im Jahr 2005 der japanische Elektronikkonzern Maspro Denkoh. Sein Präsident wollte die Kunstsammlung der Firma versteigern lassen – Werke von Cézanne und Picasso im Gesamtwert von rund 20 Millionen Dollar – und konnte sich nicht zwischen den Auktionshäusern Christie's und Sotheby's entscheiden. Seine Lösung: Die beiden Häuser sollten eine Runde Schere, Stein, Papier darum spielen. Kein Scherz. Beide traten an, die Wahl wurde schriftlich eingereicht.
Sotheby's betrachtete die Sache als reines Glücksspiel und wählte ohne besondere Vorbereitung Papier. Bei Christie's dagegen fragte der zuständige Manager herum und bekam den entscheidenden Rat von den elfjährigen Zwillingstöchtern eines Mitarbeiters, turnierfesten Pausenplatz-Spielerinnen: «Anfänger spielen Stein. Wer das weiss, erwartet Stein und spielt Papier. Also nimm die Schere.» Christie's spielte Schere, schlug Sotheby's Papier – und gewann das Mandat samt Millionenprovision.
Die spieltheoretische Lehre ist doppelt. Gegen einen perfekten Zufallsmischer wäre jeder Rat wertlos gewesen: Gegen ⅓/⅓/⅓ gewinnt jede Wahl mit derselben Wahrscheinlichkeit. Der Rat der Zwillinge hatte nur deshalb Wert, weil Menschen keine perfekten Mischer sind: Sie haben Erwartungen über die Erwartungen der anderen, und wer eine Denkstufe weiter geht, kann das ausnutzen. Dieses Prinzip hast du eben gegen den Muster-Bot erlebt. Und die zweite Lehre: Wer wie Sotheby's glaubt, es gebe «eh nichts zu überlegen», hat schon überlegt – und zwar zu wenig.
5.5Profis mischen wirklich
Gemischte Strategien sind keine Schreibtisch-Theorie. Ökonomen haben tausende Elfmeter aus europäischen Profiligen ausgewertet – mit einem überraschenden Befund: Spitzenschützen und Torhüter verhalten sich fast exakt so, wie es die Theorie des gemischten Gleichgewichts vorhersagt. Ihre Trefferquoten sind über beide Ecken hinweg praktisch identisch (wären sie es nicht, gäbe es ja eine bessere Ecke, und der Gegner wüsste das auch), und ihre Schussfolgen zeigen keine ausnutzbaren Muster. Jahrelanges Training unter höchstem Druck bringt Menschen offenbar dorthin, wo die Mathematik das Optimum sieht.
Dasselbe Prinzip findest du beim Tennis-Aufschlag (longline oder cross?), beim Pokern (bluffen oder nicht?) und sogar bei Steuerprüfungen (wer wird kontrolliert?): Überall, wo Berechenbarkeit bestraft wird, ist kontrollierter Zufall die rationale Strategie.
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5.6Selbsttest
Ein Schütze schiesst in 80% der Fälle links. Der Torwart kennt seine Statistik und reagiert optimal. Welche Trefferquote erreicht er langfristig?
Ein Spiel: Bei Kopf (Wahrscheinlichkeit 50%) gewinnst du 4 Franken, bei Zahl verlierst du 2 Franken. Wie gross ist der Erwartungswert pro Runde?
Warum ist bei Schere, Stein, Papier die Mischung ⅓ / ⅓ / ⅓ optimal?
Dreimal rechnen und einmal erklären, warum Menschen trotzdem anders wählen.
Angebot A: 50 Franken sicher. Angebot B: Münzwurf, bei Kopf 120 Franken, bei Zahl nichts. Welches Angebot hat den höheren Erwartungswert?
Eine Diebstahlversicherung für dein E-Bike (Wert: 8000 Franken) kostet 100 Franken pro Jahr; die Diebstahlwahrscheinlichkeit liegt bei 1% pro Jahr. Wie ist der Erwartungswert der Versicherung, und warum kann der Abschluss trotzdem vernünftig sein?
Ein Lotterielos kostet 5 Franken; der Erwartungswert aller Gewinne liegt bei etwa 2.50 Franken. Millionen Menschen kaufen trotzdem Lose. Welche Erklärung passt am besten?
Ein Glücksrad an der Chilbi: Mit 25 % Wahrscheinlichkeit gewinnst du 12 Franken, mit 75 % verlierst du deinen Einsatz von 2 Franken. Wie gross ist der Erwartungswert pro Drehung?
Eine Schützin trifft so: Schiesst sie links und der Torwart springt links, trifft sie in 60 % der Fälle; springt er rechts, immer (100 %). Schiesst sie rechts und er springt links, trifft sie immer (100 %); springt er rechts, nur in 40 % der Fälle. Wie viel Prozent ihrer Schüsse sollte sie nach links schiessen, damit der Torwart indifferent ist?
Zum Weiterdenken
Drei offene Fragen für den Transfer. Erst selbst überlegen, dann die Musterlösung aufklappen.
1 · Eine Torhüterin bemerkt: Nach einem gehaltenen Ball wechselt dieser Schütze beim nächsten Elfmeter fast immer die Ecke. Wie nutzt die Torhüterin das aus, und was müsste der Schütze ändern?
Die Torhüterin springt nach jedem gehaltenen Ball in die andere Ecke als beim letzten Mal – dorthin, wo der Schütze gemäss seinem Muster hinwechselt. Die Lehre: Auch bedingte Muster («nach Misserfolg wechseln») sind Muster. Eine saubere gemischte Strategie verlangt, dass jede Entscheidung unabhängig von der Vorgeschichte ist – der Zufall darf kein Gedächtnis haben. Das fällt Menschen am schwersten.
2 · Steuerämter sehen zwar jede Steuererklärung an, können aber nur wenige vertieft prüfen, etwa mit einer Buchprüfung oder dem Einfordern aller Belege. Welche Erklärungen das trifft, ist für die Steuerpflichtigen nicht vorhersehbar. Erkläre das als gemischte Strategie. Was würde passieren, wenn der Prüfplan öffentlich wäre?
Jede Erklärung vertieft zu prüfen wäre zu teuer, keine zu prüfen lädt zum Schummeln ein. Die unberechenbare Auswahl ist die gemischte Strategie dazwischen: Jede Steuerpflichtige muss jederzeit mit einer Prüfung rechnen. Die Möglichkeit diszipliniert, nicht die tatsächliche Kontrolle. Wäre der Prüfplan öffentlich («dieses Jahr: Nachnamen A–F»), würden alle anderen risikolos schummeln. Berechenbarkeit zerstört die Wirkung – wie beim Elfmeter.
3 · Beim Tennis-Aufschlag ist dein Longline-Ball deutlich stärker als dein Cross-Ball. Warum wäre «immer longline» trotzdem ein Fehler, und was sagt das Indifferenz-Prinzip über die richtige Mischung?
«Immer longline» macht dich berechenbar: Die Rückschlägerin stellt sich darauf ein, und dein starker Ball verliert seinen Wert. Das Indifferenz-Prinzip (Exkurs in 5.3) sagt: Spiele den starken Aufschlag häufiger, aber mische den schwächeren so oft bei, dass sich das Einstellen auf eine Seite für die Gegnerin nicht lohnt. Das Kennzeichen der richtigen Mischung: Beide Aufschlagvarianten bringen dir am Ende ungefähr gleich viele Punkte pro Versuch.
Das nimmst du mit
- In Nullsummenspielen wie dem Elfmeter gibt es kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien: Wer berechenbar ist, wird ausgenutzt.
- Eine gemischte Strategie legt Wahrscheinlichkeiten fest und lässt den Zufall entscheiden.
- Erwartungswerte machen Mischungen vergleichbar: Gegen einen informierten Gegner gilt beim Elfmeter Trefferquote = min(p, 1−p), maximal bei 50/50.
- Schere, Stein, Papier: Die einzige nicht ausnutzbare Strategie ist ⅓ / ⅓ / ⅓ ohne Muster – das ist die Antwort auf die offene Frage aus Modul 1.
- Profis (Elfmeter, Tennis, Poker) mischen nachweislich fast optimal.
Zum Weiterlesen & Anschauen
- William Spaniel, «Game Theory 101» (YouTube, englisch) – kurze Erklärvideos; die Folgen zu gemischten Strategien rechnen das Indifferenz-Prinzip Schritt für Schritt vor.
- Ignacio Palacios-Huerta, «Beautiful Game Theory» (englisch) – der Ökonom, der tausende Elfmeter ausgewertet hat: Fussball als Datenlabor der Spieltheorie.
- Die Maspro-Auktion von 2005 – die Geschichte aus der Fallstudie wurde weltweit dokumentiert; Suchbegriffe «Maspro Christie's rock paper scissors» führen zu den Originalberichten.
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